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【台灣大學微積分歷年解答】

轉學考解答-台灣大學微積分B卷102年度

蜜兒幫大家整理了解答部分有需要可以看看唷

1. D

2. E

3. D

4. A

5. A

6. B

7. C

8. E

9. E

10.

11. AD

12. ABD

13. A

14. AC

15. 6 + (π/6)^3

令 F = <2xsin(y), x^2*cos(y) - 3y^2>

f_x = 2xsin(y), f_y = x^2*cos(y) - 3y^2

f_xy = 2xcos(y), f_yx = 2xcos(y)

f_xy = f_yx

到這裡 我們證明了 F is conservative

而 line integral of any conservative vector field is independent of path

所以說原 integral 是 independent of path

先積f_x:

f(x, y) = x^2*sin(y) + g(y)

再積f_y:

f(x, y) = x^2*sin(y) - y^3 + h(x)

所以說 f(x, y) = x^2*sin(y) - y^3 + c

∫ 2xsin(y)dx + [x^2*cos(y) - 3y^2]dy
C
= ∫ <2xsin(y), x^2*cos(y) - 3y^2>·<dx,dy>
   C

                                         |(0, -2)
= ∫ F·dr = [x^2*sin(y) - y^3]|           = 6 + (π/6)^3
   C                                    |(2, π/6)

16. (a) 0

      (b) 2π

(a) 根據Green's Theorem:

               x^2 + y^2 - 2x^2     -x^2 - y^2 + 2y^2
原式 = ∫∫ [---------------------- - -------------------------]dxdy = 0
           R   (x^2 + y^2)^2           (x^2 + y^2)^2

R is the region enclosed by C

(b)

有兩種解法:

                    -sin(θ)                       cos(θ)
原式 + lim  ∫ [---------*ε*-sin(θ)dθ + ---------*ε*cos(θ)]dθ = 0
        ε->0 C'      ε                              ε

C': x = εcos(θ), y = εsin(θ)

且C'是clockwise

所以說:

原式 + ∫ dθ = 原式 - 2π = 0
         C'

原式 = 2π

另解:

               -sin(θ)                       cos(θ)
原式 = ∫ [----------*a*-sin(θ)dθ + ---------*a*cos(θ)]dθ
         C       a                              a 
= ∫ dθ = 2π
   C

資料來源: 鄉民hsnuyi

蜜兒碎碎念:

 求學的過程中總有挫折，但那不是盡頭~

 只是在提醒你，該堅持，還是該轉彎了。

文章延伸:

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