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【台灣大學微積分歷年解答】

轉學考解答-台灣大學微積分B卷99年度

蜜兒幫大家整理了解答部分有需要可以看看唷

填充:

1. -2
2. 44
3. (1,0)
4. 2-m/2
5. (0,0,3)
6. (5/3,7/3)
7. (100/√34)-(32/5)

計算:

8. 三邊長: 6,9,9 最大體積: 144π
9. 1944π

解說:

 填充:
 1. 反有理化
 2. 先令u=x^2 再令v=√(9+u)
 3. 令f(x)=4x^3-6x^2+6x-3知f'(x)>0嚴格遞增
     且因f(x)為奇數次多項式,故p=1
     令g(x)=(2x^2+3)(x-1)^2+x^2知g(x)>0,故q=0
 4. 拋物線與直線相交於4-m,分割的左塊是D的一半,進行積分即可解出k
 5. 根據定義計算

由於對稱性,設質心為(0,0,z)

根據定義:

z= ^{∫∫∫z dm} = ^{∫∫∫z(24z)dV} = ^{∫∫∫z^2 dV}

      ∫∫∫ dm      ∫∫∫(24z)dV       ∫∫∫z dV

                                               4

其中 ∫∫∫z^2 dV = ∫∫       ∫          z^2 dzdydx

                             x^2+y^2≦4   4-(x^2+y^2)
                                           
                                 2π    2

                      = ∫ ∫ 1/3 [64-(4-r^2)^3] rdrdΘ

                                  0  0

                      = 64

                                          

                               4

∫∫∫z dV =∫∫      ∫           z dzdydx

             x^2+y^2≦4   4-(x^2+y^2)

                   2π   2

            =∫ ∫  1/2 [16-(4-r^2)^2] rdrdΘ

                   0  0

            = 64/3

 故 z = 3

 6. 利用比值法得區間,再檢查端點斂散性即可
 7. 直接微分(Leibniz公式)

 
 計算:
 8. 先求出三角形之形心,再利用Guldin-Pappus得旋轉體積,
     將約束條件代入,並且單數變化後對體積微分求極值即可得解
     
      此三角形必為等腰三角形,設立座標系如下圖所示:

　　　　  ︿Y軸
　　　　　︳
　　(0,b) ︳
　　　　／＼
　　　／　︳＼
　　／　　︳　＼
　／　　　︳　　＼
───────────────＞X軸
(-a,0)    O      (a,0)

     三角形之形心: (0,y*) = (0,b/3)

     三角形之面積: A = 1/2 (2a) b = ab

     根據Pappus定理得旋轉體體積為:

       V = 2π y* A

          = 2/3π ab^2

     約束條件: √(a^2+b^2) + √(a^2+b^2) + 2a = 24 (周長為24)

     有 a = 6 - b^2 /24 代回

     得 V(b) = 2/3π [ 6b^2 - (b^4)/24 ]

         d V(b)
     由 ───── = 0 得 b^2 = 72 , b = 6√2 , a = 3
           d b

     故得最大體積為: V_MAX= V(3,6√2) = 144π

     此時邊長為: 6 , 9 , 9

 9. 平面Green定理

資料來源: 鄉民lovekwen

蜜兒碎碎念:

 求學的過程中總有挫折，但那不是盡頭~

 只是在提醒你，該堅持，還是該轉彎了。

文章延伸:

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