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【台灣大學微積分歷年解答】

轉學考解答-台灣大學微積分C卷99年度

蜜兒幫大家整理了解答部分有需要可以看看唷

1. i) 1/2 (x^2 e^x^2 - e^x^2 ) + C
   ii) π/4

2. i) f(x) = x^2 [ 1/√(1+x^2) - 1 ] (二項式展開)

             = x^2 [ -1/2 x^2 + 3/8 x^4 - 5/16 x^6 + … ]

             = -1/2 x^4 +3/8 x^6 - 5/16 x^8 + …

       故x^4之係數: -1/2 x^9之係數: 0

   ii) g(x) = ( 1 - 1/2! x^2 +1/4! x^4 - … )
       ( x^2 - 1/3! x^6 + … ) - x^2

              = -1/2 x^4 - 1/8 x^6 + 1/12 x^8 - …

       故x^4之係數: -1/2 x^6之係數: -1/8

   iii)                  f(x)
       由上述知 lim  ───  = 1
                  x→0 g(x)

3. i)                                                     
     C = A + B = ∫∫_Ω sin(x^2+y^2) dxdy

          2π 1       
        = ∫  ∫ sin(r^2) rdrdΘ
           0  0

        = π (1 - cos 1)

    ii)

             1 √(1-x^2)
       A = ∫  ∫          sin(x^2)cos(y^2) dydx
            -1 -√(1-x^2)

                1 √(1-x^2)
          = 4 ∫ ∫         sin(x^2)cos(y^2) dydx(偶函數性質)
                0 0

             1 √(1-y^2)
       B = ∫ ∫            sin(y^2)cos(x^2) dxdy
            -1 -√(1-y^2)

                1 √(1-y^2)
          = 4 ∫ ∫         sin(y^2)cos(x^2) dxdy(偶函數性質)
                0 0

由啞變數變換知: A = B

4. i) f_x = 2x + 4y = 0 得 x = -2y

       f_y = 4x + 2y = 0 得 y = -2x

   解得(x,y) = (0,0) 且 Δ(0,0) < 0
   故(0,0)為開區間內之鞍點

   ii)令L(x,y,λ)= x^2 + 4xy + y^2 + λ(x^2 +y^2 - 1)

     L_x = 2x + 4y + λ(2x) = 2(1+λ)x + 4y = 0

     L_y = 4x + 2y + λ(2y) = 4x + 2(1+λ)y = 0

     欲得x,y之非零解則:

　　｜1+λ 2｜
　　｜        ｜ = 0 得 λ = 1 or -3
　　｜2 1+λ｜

     (1) λ = 1 得 x = -y → 2x^2 = 1 , x = ±1/√2 = -y

     此時 f = -1

     (2) λ = -3 得 x = y → 2x^2 = 1 , x = ±1/√2 = y

     此時 f = 3

     故絕對極小值: f_min = -1 , 絕對極大值: f_Max = 3

    iii)綜合上述知

     在閉區間內之絕對極小值: f_min = -1 , 絕對極大值: f_Max = 3

資料來源: 鄉民 lovekwen

蜜兒碎碎念:

 求學的過程中總有挫折，但那不是盡頭~

 只是在提醒你，該堅持，還是該轉彎了。

文章延伸:

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